第一章
第一章：絕望的數(shù)學(xué)與天降�；�
窗外的蟬鳴像永不停歇的催眠曲，教室里的空氣悶熱而壓抑。
我叫林凡，一個普普通通的高二學(xué)生，如果非要說有什么不普通，那就是我的數(shù)學(xué)成績——穩(wěn)定地在及格線邊緣瘋狂試探，偶爾還會光榮地跌破它。
看著黑板上那堆如同天書般的函數(shù)圖像和幾何圖形，我的大腦一片空白，只剩下無盡的絕望。
林凡，這道選擇題你來回答一下。數(shù)學(xué)老師，人稱滅絕師太的李老師，鏡片后的目光像X射線一樣掃了過來。
我僵硬地站起身，額頭上滲出了細密的汗珠，支支吾吾了半天，一個字也憋不出來。
唉……李老師重重地嘆了口氣，那聲音里充滿了對朽木不可雕的無奈，坐下吧，課后好好反思一下！
周圍傳來幾聲壓抑的竊笑，我感覺自己的臉頰火辣辣的，恨不得找個地縫鉆進去。
數(shù)學(xué)，就是我學(xué)生生涯中揮之不去的噩夢。
尤其是想到明年就要高考，而數(shù)學(xué)這150分，我可能連一半都拿不到，我就更是頭皮發(fā)麻，夜不能寐。
就在我陷入深深的自我懷疑和焦慮時，一個清脆悅耳的聲音，像一股清泉，在我耳邊響起。
林凡同學(xué)，這道題其實不難，你只是……沒找到正確的方法而已。
我猛地抬起頭，只見鄰座那個如同從畫中走出來的女孩，正微笑著看著我。
她叫蘇沐雪，我們班的班長，也是全校公認的校花兼學(xué)霸。
膚白貌美，氣質(zhì)清冷，成績更是常年霸占年級第一的寶座，尤其是數(shù)學(xué)，據(jù)說她每次考試都能輕松拿到滿分。
她……她竟然會主動跟我說話
而且，還要給我講數(shù)學(xué)
我有些不敢相信自己的耳朵，感覺自己像是在做夢。
蘇……蘇同學(xué)，你……你說什么我結(jié)結(jié)巴巴地問道，臉頰有些發(fā)燙。
蘇沐雪的嘴角微微上揚，露出了一個淺淺的酒窩，像春日里綻放的梨花，美得讓人心悸。
我說，我可以幫你補習(xí)數(shù)學(xué)。她眨了眨那雙清澈明亮的眼睛，語氣溫柔而堅定。
只要你愿意，我可以把我所有的學(xué)習(xí)方法和解題技巧，都教給你。
那一刻，我看著她臉上那自信而溫暖的笑容，感覺自己那顆早已被數(shù)學(xué)虐得千瘡百孔的心，突然……漏跳了一拍。
或許，我的數(shù)學(xué)，還有救
第二章：校花的魔鬼補習(xí)與函數(shù)初體驗
放學(xué)后，我懷著忐忑而又有些期待的心情，跟著蘇沐雪來到了學(xué)校的圖書館。
夕陽的余暉透過窗戶，灑在她白皙的側(cè)臉上，給她鍍上了一層柔和的光暈，美得像一幅精心描繪的油畫。
我有些不敢直視她的眼睛，只能低著頭，默默地跟在她身后。
林凡同學(xué)，我們先從最基礎(chǔ)的函數(shù)開始吧。蘇沐雪在一張安靜的閱覽桌旁坐下，從書包里拿出了一本厚厚的數(shù)學(xué)輔導(dǎo)書。
函數(shù)，是整個高中數(shù)學(xué)的核心，也是高考的重中之重。
她一邊說著，一邊翻開書，指著上面那些密密麻麻的定義和公式。
你看，2025年的高考大綱里明確指出，函數(shù)與方程部分，會重點考查函數(shù)性質(zhì)、圖像、反函數(shù)、指數(shù)與對數(shù)函數(shù)，并且會強調(diào)實際應(yīng)用問題的解決。
我看著那些如同天書般的符號和文字，只覺得頭暈眼花，一個頭兩個大。
蘇……蘇同學(xué)，這些……我都看不懂啊。我有些不好意思地撓了撓頭。
蘇沐雪并沒有因此而生氣或者不耐煩，反而耐心地對我笑了笑。
沒關(guān)系，我們一點一點來。
函數(shù)，其實就像一個神奇的‘加工廠’。她用筆在紙上畫了一個簡單的示意圖。
你給它一個‘原材料’（自變量x），它就會按照特定的‘加工規(guī)則’（函數(shù)表達式f），生產(chǎn)出一個‘成品’（函數(shù)值y）。
比如，我們最常見的一次函數(shù)
y
=
kx
+
b，它的‘加工規(guī)則’就是先乘以一個系數(shù)k，再加上一個常數(shù)b。
而二次函數(shù)
y
=
ax
+
bx
+
c，它的‘加工規(guī)則’就更復(fù)雜一些，涉及到平方、乘法和加法。
她用這種生動形象的比喻，將枯燥乏味的函數(shù)定義，解釋得通俗易懂。
我聽得津津有味，感覺自己那顆早已對數(shù)學(xué)絕望的心，似乎……又重新燃起了一絲希望。
理解了函數(shù)的定義，我們再來看函數(shù)的性質(zhì)。蘇沐雪繼續(xù)說道。
比如，單調(diào)性，就是指函數(shù)圖像是上升還是下降；奇偶性，就是指函數(shù)圖像是否對稱；周期性，就是指函數(shù)圖像是否會重復(fù)出現(xiàn)……
她一邊講，一邊在紙上畫出各種各樣函數(shù)的圖像，讓我對這些抽象的概念，有了更直觀的認識。
還有反函數(shù)，你可以把它理解為‘加工廠’的‘逆向操作’。
如果函數(shù)f能把x加工成y，那么它的反函數(shù)f就能把y還原成x。
當(dāng)然，并不是所有的函數(shù)都有反函數(shù)，只有那些‘一對一’的函數(shù)，才能進行‘逆向操作’。
在蘇沐雪耐心而細致的講解下，我感覺自己對函數(shù)的理解，正在一點點地加深。
那些曾經(jīng)讓我望而生畏的符號和公式，似乎也變得……不那么可怕了。
好了，今天我們先講到這里。蘇沐雪合上書，看了看墻上的時鐘。
回去之后，你把這些概念好好消化一下，再做幾道練習(xí)題鞏固一下。
明天，我們繼續(xù)學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)。
我看著她那雙充滿鼓勵的眼睛，用力地點了點頭。
謝謝你，蘇同學(xué)！我一定會努力的！
雖然，我知道，我的數(shù)學(xué)之路，還很漫長，也很艱難。
但是，有她在，我似乎……有了堅持下去的勇氣。
第三章：向量的奧秘與幾何的共舞
接下來的日子，蘇沐雪成了我數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的專屬導(dǎo)師。
每天放學(xué)后，我們都會在圖書館里，一起學(xué)習(xí)，一起討論。
在她的幫助下，我的數(shù)學(xué)成績，開始有了……呃……微不足道的進步。
至少，我已經(jīng)能看懂黑板上的那些符號了，雖然還是不會做題。
林凡同學(xué)，今天我們學(xué)習(xí)平面向量與解析幾何。蘇沐雪翻開新的一章，語氣依舊溫柔。
這也是高考的重點和難點，尤其是向量運算、坐標(biāo)表示和幾何應(yīng)用，比如距離公式、定比分點，都是高頻考點。
我看著書上那些帶著箭頭的線段，和密密麻麻的坐標(biāo)點，感覺自己的腦袋又開始隱隱作痛。
蘇……蘇同學(xué)，這個向量……到底是個什么東西啊我有些茫然地問道。
你可以把向量理解為……一種既有大小，又有方向的‘力’。蘇沐雪想了想，打了個比方。
比如，你推一個箱子，你用的力，就是一個向量，它有大�。阌昧硕啻蟮牧Γ�，也有方向（你往哪個方向推）。
在數(shù)學(xué)里，我們用一個帶箭頭的線段來表示向量，箭頭的指向代表方向，線段的長度代表大小。
她一邊說，一邊在紙上畫出了幾個不同方向和長度的向量。
向量的運算，也很簡單。蘇沐雪繼續(xù)說道。
比如，向量的加法，就相當(dāng)于兩個力的合成，你可以用平行四邊形法則，或者三角形法則來計算。
向量的減法，就相當(dāng)于一個力減去另一個力，可以看作是加法的逆運算。
還有向量的數(shù)量積，也叫點乘，它可以用來計算兩個向量的夾角，或者判斷兩個向量是否垂直。
向量的坐標(biāo)表示，就更直觀了。蘇沐
雪在紙上畫了一個坐標(biāo)系。
我們可以用一個有序數(shù)對
（x，
y）
來表示一個平面向量，其中x代表向量在x軸上的投影，y代表向量在y軸上的投影。
這樣，我們就可以用代數(shù)的方法，來解決幾何問題了，比如計算兩點之間的距離，或者求一個點的分點坐標(biāo)。
在蘇沐雪的講解下，我感覺自己對向量的理解，又進了一步。
原來，這些看似復(fù)雜的概念，背后都有著如此生動形象的解釋。
向量在幾何中的應(yīng)用，非常廣泛。蘇沐雪的眼神閃爍著智慧的光芒。
比如，我們可以用向量來證明三點共線，或者判斷兩條直線是否平行或垂直。
我們還可以用向量來解決一些與角度和距離相關(guān)的問題，比如計算三角形的面積，或者求一個點到一條直線的距離。
她一邊說，一邊給我舉了很多例子，讓我對向量的應(yīng)用，有了更深刻的認識。
當(dāng)然，解析幾何部分，也離不開向量的知識。蘇沐雪翻到書的后面。
比如，直線方程、圓的方程、橢圓、雙曲線、拋物線……這些曲線的性質(zhì)和方程，都需要用到向量的知識來推導(dǎo)和理解。
而且，高考中，經(jīng)常會將向量和解析幾何結(jié)合起來，出一些綜合性比較強的解答題，考查我們的綜合應(yīng)用能力。
我聽著蘇沐雪滔滔不絕地講解，感覺自己的大腦，像一塊干涸的海綿，瘋狂地吸收著知識的甘霖。
雖然，有些地方，我還是聽得云里霧里，似懂非懂。
但是，至少，我已經(jīng)不再像以前那樣，對數(shù)學(xué)感到恐懼和厭惡了。
反而，我開始覺得，數(shù)學(xué)……似乎也挺有趣的
尤其是，當(dāng)蘇沐雪用她那雙清澈明亮的眼睛看著我，耐心地為我解答每一個疑問的時候。
我感覺自己的心，像被羽毛輕輕拂過，癢癢的，暖暖的。
或許，我努力學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的動力，并不僅僅是為了提高成績，更是為了……能和她多待一會兒
這個念頭一出來，我自己都嚇了一跳。
林凡啊林凡，你清醒一點！人家是校花學(xué)霸，你是學(xué)渣菜鳥！你們根本就不是一個世界的人！
不要再做這種不切實際的白日夢了！
我甩了甩腦袋，努力把那些亂七八糟的想法趕出去，重新將注意力集中在蘇沐雪的講解上。
林凡同學(xué)，你怎么了是不是累了蘇沐雪注意到我的異樣，關(guān)切地問道。
沒……沒什么。我連忙擺了擺手，臉頰有些發(fā)燙。
我們……我們繼續(xù)吧。
蘇沐雪看著我那副窘迫的樣子，嘴角微微上揚，露出了一個意味深長的笑容。
那一刻，我感覺自己的心，又漏跳了一拍。
第四章：概率的迷霧與統(tǒng)計的陷阱
時間過得飛快，轉(zhuǎn)眼間，期中考試就要到了。
在蘇沐雪的魔鬼補習(xí)下，我的數(shù)學(xué)成績，雖然還沒有突飛猛進，但也算是……穩(wěn)中有升。
至少，我已經(jīng)能及格了，而且，偶爾還能蒙對幾道選擇題和填空題。
這對我來說，已經(jīng)是天大的進步了。
林凡同學(xué)，今天我們學(xué)習(xí)概率與統(tǒng)計。蘇沐雪翻開書，表情有些嚴肅。
這也是高考的必考內(nèi)容，而且，根據(jù)最新的考綱解析，這部分的難度，可能會有所提升，需要我們結(jié)合實際問題進行分析。
我一聽到難度提升這四個字，頭皮就一陣發(fā)麻。
蘇……蘇同學(xué)，這個概率……是不是就是算彩票中獎的概率啊我小心翼翼地問道。
蘇沐雪被我逗笑了，嗔怪地白了我一眼：你呀，就知道想這些不切實際的。
不過，你說的也沒錯，概率，確實是研究隨機事件發(fā)生可能性大小的一門學(xué)科。
比如，擲骰子，拋硬幣，抽獎……這些都屬于隨機事件。
而我們要做的，就是通過數(shù)學(xué)的方法，來計算這些事件發(fā)生的概率。
她一邊說，一邊在紙上畫出了一個簡單的概率樹狀圖。
概率的計算，有很多方法，比如古典概型，幾何概型，條件概率，全概率公式，貝葉斯公式……
還有一些重要的概念，比如獨立事件，互斥事件，對立事件……
這些都需要我們熟練掌握，才能靈活運用。
我聽著那一連串陌生的名詞和公式，感覺自己的大腦又開始罷工了。
蘇……蘇同學(xué)，這些……也太復(fù)雜了吧我苦著臉說道。
沒關(guān)系，我們一個一個來。蘇沐雪耐心地安慰道。
其實，概率并沒有你想象的那么難，只要你理解了其中的邏輯，掌握了基本的方法，就能迎刃而解。
她開始從最簡單的古典概型講起，用擲骰子的例子，生動形象地解釋了概率的計算方法。
然后，又結(jié)合實際生活中的例子，講解了條件概率和全概率公式的應(yīng)用。
漸漸地，我感覺自己對概率的理解，也清晰了一些。
至于統(tǒng)計部分，主要是研究如何收集、整理、分析和解釋數(shù)據(jù)。蘇沐雪繼續(xù)說道。
比如，我們要估計一個地區(qū)的人口數(shù)量，或者預(yù)測一種產(chǎn)品的銷量，就需要用到統(tǒng)計的方法。
統(tǒng)計中，有很多重要的參數(shù)，比如平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)，方差，標(biāo)準差……
還有一些常見的統(tǒng)計圖表，比如條形圖，折線圖，餅圖，直方圖……
這些都是我們分析數(shù)據(jù)，得出結(jié)論的重要工具。
她一邊說，一邊給我看了一些真實的數(shù)據(jù)案例，讓我對統(tǒng)計的應(yīng)用，有了更直觀的認識。
高考中，概率與統(tǒng)計部分，經(jīng)常會出一些與實際生活相關(guān)的應(yīng)用題。蘇沐雪的表情變得嚴肅起來。
比如，產(chǎn)品質(zhì)量檢測，市場調(diào)查分析，疾病傳播預(yù)測……
這些題目，不僅考查我們對基本概念和公式的掌握，更考查我們的數(shù)據(jù)分析能力和邏輯推理能力。
所以，我們平時要多關(guān)注一些社會熱點問題，學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光去看待和分析這些問題。
我聽著蘇沐雪的講解，感覺自己對數(shù)學(xué)的認識，又提升了一個新的高度。
原來，數(shù)學(xué)并不僅僅是那些枯燥乏味的符號和公式，它還與我們的生活息息相關(guān)，能幫助我們解決很多實際問題。
好了，今天的內(nèi)容就到這里。蘇沐雪合上書，伸了個懶腰，露出了一個輕松的笑容。
回去之后，記得多做一些相關(guān)的練習(xí)題，尤其是那些與實際應(yīng)用相關(guān)的題目。
如果有什么不懂的地方，隨時可以來問我。
我看著她那雙充滿鼓勵和信任的眼睛，心中充滿了感激和……一絲絲的悸動。
謝謝你，蘇沐雪。我第一次，鼓起勇氣，叫了她的名字，而不是蘇同學(xué)。
蘇沐雪聞言，微微一愣，隨即臉上露出了一個更加燦爛的笑容。
不客氣，林凡。
那一刻，我感覺我們之間的距離，似乎……又近了一些。
第五章：導(dǎo)數(shù)的鋒芒與微積分的奧秘
期中考試的成績出來了。
我的數(shù)學(xué)，竟然……考了95分！
雖然，離蘇沐雪的滿分，還差得很遠。
但是，這對我來說，已經(jīng)是歷史性的突破了！
我激動得差點跳起來，第一個想分享喜悅的人，就是蘇沐雪。
蘇沐雪！我考了95分！我竟然考了95分！我拿著成績單，興奮地跑到她面前。
蘇沐雪看著我那副手舞足蹈的樣子，也由衷地為我感到高興。
林凡，你真棒！我就知道，你一定能行的！她笑著說道，眼中充滿了贊賞。
得到她的肯定，比我自己考了高分還要開心。
不過，我們不能驕傲自滿哦。蘇沐雪話鋒一轉(zhuǎn)，表情又恢復(fù)了平日里的認真。
接下來，我們要學(xué)習(xí)更難的內(nèi)容了——導(dǎo)數(shù)與微積分。
這也是2025年高考數(shù)學(xué)的新增和調(diào)整內(nèi)容，需要我們重點掌握。
我一聽到更難這兩個字，心中的喜悅瞬間被沖淡了一半。
導(dǎo)……導(dǎo)數(shù)微積分我有些底氣不足地問道。
那……那是什么東西啊
你可以把導(dǎo)數(shù)理解為……函數(shù)圖像在某一點的‘斜率’，或者說，是函數(shù)變化的‘快慢程度’。蘇沐雪解釋道。
比如，一輛汽車在行駛，它的速度，就是路程對時間的導(dǎo)數(shù)。
通過導(dǎo)數(shù)，我們可以判斷函數(shù)的單調(diào)性（上升還是下降），找到函數(shù)的極值（最大值或最小值），甚至解決一些實際生活中的優(yōu)化問題，比如如何才能用最少的材料，制作一個容積最大的容器。
她一邊說，一邊在紙上畫出了一個生動的例子，讓我對導(dǎo)數(shù)的概念，有了初步的認識。
而微積分，則是研究函數(shù)變化和積累的一門學(xué)科。蘇沐雪繼續(xù)說道。
它包括微分和積分兩個部分，微分研究的是‘瞬間變化率’，積分研究的是‘累積總量’。
比如，我們要計算一個不規(guī)則圖形的面積，或者一個變速運動物體在一段時間內(nèi)走過的路程，就需要用到積分的方法。
我聽著這些全新的概念，感覺自己的大腦又開始不夠用了。
這些東西，聽起來……比函數(shù)和向量還要抽象，還要難懂��！
蘇沐雪，我……我能學(xué)會嗎我有些不自信地問道。
當(dāng)然能！蘇沐雪看著我，眼神堅定而充滿鼓勵。
林凡，你要相信自己，你比你想象的要聰明得多。
只要你肯努力，肯下功夫，就沒有什么能難倒你的。
她的聲音，像一股溫暖的泉水，滋潤著我干涸的心田。
也像一盞明燈，照亮了我前進的道路。
在接下來的日子里，蘇沐雪開始系統(tǒng)地給我講解導(dǎo)數(shù)和微積分的知識。
從導(dǎo)數(shù)的定義、幾何意義、求導(dǎo)法則，到利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值。
從定積分的定義、幾何意義、牛頓-萊布尼茨公式，到利用定積分計算平面圖形的面積和旋轉(zhuǎn)體的體積。
每一個概念，每一個公式，她都講得深入淺出，條理清晰。
她還會找很多典型的例題，一步一步地教我如何分析，如何解答。
遇到我理解不了的地方，她也從不不耐煩，總是耐心地，一遍又一遍地給我講解，直到我完全弄明白為止。
漸漸地，我感覺自己對導(dǎo)數(shù)和微積分的理解，也越來越深刻了。
那些曾經(jīng)讓我望而生畏的符號和公式，似乎也變得……不那么可怕了。
我開始嘗試著自己解決一些比較復(fù)雜的題目，雖然還是會遇到很多困難，但我不再像以前那樣，輕易地放棄了。
因為我知道，蘇沐雪就在我身邊，她會一直支持我，鼓勵我。
為了她，我也要努力，也要堅持下去！
第六章：立體幾何的空間之舞與數(shù)學(xué)文化的熏陶
隨著學(xué)習(xí)的深入，我們開始接觸到立體幾何這個模塊。
林凡，立體幾何主要研究的是空間圖形的位置關(guān)系、距離計算、二面角等問題。蘇沐雪指著書上的各種立體圖形說道。
這部分內(nèi)容，對我們的空間想象能力要求比較高。
而且，高考中，經(jīng)常會要求我們結(jié)合向量的方法來解決立體幾何問題。
我看著那些點、線、面在三維空間中交錯縱橫，感覺自己的腦袋都快變成一團漿糊了。
蘇沐雪，我……我空間想象能力好像不太好啊。我有些沮喪地說道。
沒關(guān)系，空間想象能力是可以培養(yǎng)的。蘇沐雪安慰道。
我們可以多看一些立體圖形的模型，多動手畫一些草圖，慢慢地就能找到感覺了。
她開始從最基礎(chǔ)的點、線、面之間的位置關(guān)系講起，比如直線與直線平行、相交、異面；直線與平面平行、相交；平面與平面平行、相交……
然后，又教我如何計算空間中的各種距離，比如點到點的距離，點到直線的距離，點到平面的距離，直線與直線之間的距離，直線與平面之間的距離，平面與平面之間的距離……
還有二面角的計算，更是讓我頭疼不已。
那些繁瑣的步驟和復(fù)雜的公式，看得我眼花繚亂。
蘇沐雪，這個二面角……也太難了吧我忍不住抱怨道。
確實有些難度。蘇沐雪點了點頭。
但是，只要我們掌握了基本的方法，比如定義法，三垂線定理法，向量法……再多加練習(xí)，就能攻克它了。
她開始耐心地給我講解每一種方法的思路和步驟，并結(jié)合具體的題目進行演示。
漸漸地，我感覺自己對立體幾何的理解，也清晰了一些。
雖然，我還是經(jīng)常會把各種位置關(guān)系搞混，把各種公式記錯。
但是，至少，我已經(jīng)不再像以前那樣，對它感到恐懼和排斥了。
除了這些核心模塊，2025年的高考數(shù)學(xué)，還新增和調(diào)整了一些內(nèi)容。蘇沐雪翻到書的后面。
比如，不等式部分，會強調(diào)一元二次不等式和均值不等式的求解與最值應(yīng)用。
數(shù)學(xué)歸納法與數(shù)列部分，會加強對數(shù)列通項公式和數(shù)學(xué)歸納法的邏輯推理能力的考查。
還有，試題中可能會融入更多的數(shù)學(xué)文化和實踐情境，比如一些與經(jīng)濟、科技相關(guān)的問題，考查我們的數(shù)學(xué)建模能力。
我聽著這些新增的內(nèi)容，感覺自己的壓力又大了一些。
高考數(shù)學(xué)，果然不是那么容易就能征服的�。�
林凡，別擔(dān)心。蘇沐雪看出了我的焦慮，溫柔地拍了拍我的肩膀。
只要我們夯實基礎(chǔ)，系統(tǒng)梳理知識點，強化真題訓(xùn)練，培養(yǎng)綜合能力，就一定能取得好成績的。
而且，你要記住，數(shù)學(xué)并不僅僅是為了應(yīng)付考試。
它更是一種思維方式，一種解決問題的能力。
學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光去看待世界，你會發(fā)現(xiàn)，這個世界……比你想象的還要奇妙。
她的聲音，像一股清泉，流進我的心田。
也像一盞明燈，照亮了我未來的方向。
那一刻，我看著她那雙充滿智慧和力量的眼睛，心中涌起一股前所未有的勇氣和決心。
蘇沐雪，謝謝你。
謝謝你讓我重新認識了數(shù)學(xué)，也重新認識了自己。
為了你，也為了我自己，我一定會努力，一定會堅持下去！
我一定會在明年的高考中，取得一個……讓你刮目相看的成績！
第七章：模擬考的洗禮與�；ǖ募s定
高三的第一次模擬考試，如期而至。
這是對我們這段時間學(xué)習(xí)成果的一次檢驗，也是對我們心理素質(zhì)的一次考驗。
走進考場的那一刻，我的手心微微有些出汗。
雖然，在蘇沐雪的幫助下，我的數(shù)學(xué)已經(jīng)有了很大的進步。
但是，面對這樣重要的考試，我還是有些緊張。
我深吸一口氣，努力讓自己平靜下來。
然后，我開始認真地審題，仔細地計算，將蘇沐雪教給我的那些方法和技巧，一一運用到解題之中。
選擇題，填空題，解答題……
時間，一分一秒地過去。
我感覺自己，仿佛進入了一種奇妙的狀態(tài)。
那些曾經(jīng)讓我頭疼不已的題目，此刻在我眼中，似乎都變得……清晰起來了。
我能迅速地找到解題的思路，準確地運用相關(guān)的公式和定理。
甚至，我還發(fā)現(xiàn)了一些簡捷的運算方法，大大提高了我的解題速度。
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當(dāng)考試結(jié)束的鈴聲響起時，我長長地舒了一口氣。
雖然，我不知道自己能考多少分。
但是，我知道，我已經(jīng)盡力了。
我已經(jīng)把我所學(xué)到的知識，都發(fā)揮出來了。
這就夠了。
幾天后，模擬考試的成績出來了。
我懷著忐忑的心情，從班主任手中接過了成績單。
當(dāng)看到數(shù)學(xué)那一欄的分數(shù)時，我簡直不敢相信自己的眼睛！
135分！
我竟然考了135分！
這……這是我以前想都不敢想的成績�。�
我激動得差點跳起來，眼眶也有些濕潤。
我做到了！我真的做到了！
我第一個想分享喜悅的人，依舊是蘇沐雪。
我拿著成績單，飛奔到她的座位旁。
蘇沐雪！你看！我考了135分！我興奮地說道，聲音都有些顫抖。
蘇沐雪看著我手中的成績單，臉上露出了欣慰而驕傲的笑容。
林凡，你太棒了！我就知道，你一定能創(chuàng)造奇跡！她由衷地贊嘆道。
那一刻，我看著她那雙比星辰還要明亮的眼睛，感覺自己所有的努力和付出，都值得了。
不過，我們不能因此而驕傲哦。蘇沐雪很快又恢復(fù)了平日里的冷靜。
模擬考試的成績，只能代表過去。
我們的目標(biāo)，是明年的高考！
接下來，我們要針對這次考試中暴露出來的問題，進行查漏補缺，進一步提升自己。
我用力地點了點頭，眼神中充滿了堅定和自信。
蘇沐雪，謝謝你。我看著她，真誠地說道。
如果沒有你，我不可能取得這樣的成績。
是你，讓我重新找回了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心和樂趣。
是你，讓我看到了……未來的希望。
蘇沐雪聞言，臉頰微微有些泛紅，眼神也有些躲閃。
林凡，你不用謝我。她輕聲說道。
能幫助你，我也很開心。
而且，能和你一起學(xué)習(xí)，一起進步，我也……很享受這個過程。
她的聲音，越來越小，像蚊子叫一樣。
但我卻聽得清清楚楚，每一個字，都像羽毛一樣，輕輕地搔刮著我的心房。
那一刻，我感覺我們之間的氣氛，變得有些……微妙起來。
空氣中，彌漫著一種淡淡的，甜甜的味道。
蘇沐雪……我鼓起勇氣，看著她的眼睛，一字一句地說道。
等高考結(jié)束，我……我想請你看電影，可以嗎
蘇沐雪聞言，猛地抬起頭，眼中閃過一絲驚訝和……羞澀。
她咬著嘴唇，猶豫了片刻，然后，輕輕地點了點頭。
好。
雖然，只是一個簡單的好字。
但對我來說，卻像是天籟之音。
那一刻，我感覺自己，擁有了全世界。
我知道，我們的故事，才剛剛開始。
而數(shù)學(xué)，這門曾經(jīng)讓我望而生畏的學(xué)科，也因為她的出現(xiàn)，變得……不再那么可怕了。
反而，它像一座橋梁，連接起了我和她。
讓我們在追逐夢想的道路上，并肩前行，互相鼓勵，共同成長。
或許，這就是……青春最美好的樣子吧。
而我，也期待著，高考結(jié)束的那一天。
期待著，和她一起，走進電影院，開始我們……新的故事。
夕陽的余暉，將圖書館的窗欞染上了一層溫暖的金色。
模擬考的喜悅漸漸平息，我和蘇沐雪又回到了往常的補習(xí)節(jié)奏。
只是，空氣中似乎多了一絲難以言喻的甜蜜和……默契。
林凡，雖然你這次模擬考進步很大，但我們不能掉以輕心。蘇沐雪的表情依舊認真，但語氣卻比以前柔和了許多。
高考的題型會更加靈活，對基礎(chǔ)知識的理解和綜合應(yīng)用能力的要求也會更高。
所以，接下來，我要給你出一些題目，檢驗一下你對各個模塊知識點的掌握程度，好嗎
我立刻挺直了腰板，像一個即將接受檢閱的士兵：沒問題！蘇老師請出題！
蘇沐雪被我逗笑了，嗔怪地白了我一眼：貧嘴。
她從書包里拿出一個精致的筆記本和一支筆，開始認真地思考起來。
第一題：函數(shù)與方程
（基礎(chǔ)熱身）
我們先從最基礎(chǔ)的函數(shù)開始。蘇沐雪的筆尖在紙上沙沙作響。
已知函數(shù)
f（x）
=
ax
+
bx
+
cx
+
d
的圖像關(guān)于原點對稱，且當(dāng)
x
＞
時，f（x）
的圖像與函數(shù)
g（x）
=
ln（x）
的圖像有且僅有一個交點。求
a，
c
的值，并判斷
b，
d
的值。
我看著這道題，感覺……好像有點眼熟
函數(shù)圖像關(guān)于原點對稱，意味著它是奇函數(shù)。
奇函數(shù)的性質(zhì)是
f（-x）
=
-f（x），而且如果定義域包含0，那么
f（0）
=
0。
我把
f（-x）
=
-f（x）
和
f（0）
=
代入函數(shù)表達式，一番搗鼓。
嗯……奇函數(shù)的話，偶次項系數(shù)為道。
所以，b
=
0，d
=
0。
蘇沐雪微笑著點了點頭：不錯，基礎(chǔ)概念掌握得還挺扎實。
那么，a
和
c
呢以及那個交點的問題，你怎么看
這個問題稍微有點難度了。
我想了想，當(dāng)
x
＞
時，f（x）
=
ax
+
cx，要和
g（x）
=
ln（x）
只有一個交點。
這意味著，它們的圖像在該點相切
相切的話，函數(shù)值相等，導(dǎo)數(shù)值也相等！
是不是……它們在交點處的函數(shù)值相等，導(dǎo)數(shù)值也相等我試探著問道。
思路很對！蘇沐雪的眼中閃過一絲贊賞。
那接下來，你會怎么做
我深吸一口氣，開始在草稿紙上演算起來。
設(shè)交點為
（x，
y），則
ax
+
cx
=
ln（x），且
3ax
+
c
=
1x。
兩個方程，三個未知數(shù)……好像還少一個條件
我皺起了眉頭，陷入了沉思。
蘇沐雪看著我冥思苦想的樣子，嘴角微微上揚，并沒有急著提示我。
她似乎很享受這種引導(dǎo)我獨立思考的過程。
突然，我靈光一閃！
原點對稱！也就是說，圖像在原點處的切線，是不是也有什么特殊性
不不不，這個思路好像不對。
等等，f（x）
的圖像與
g（x）
=
ln（x）
的圖像有且僅有一個交點。
這意味著，它們在那個點，不僅函數(shù)值相等，導(dǎo)數(shù)值相等，而且……它們在那一點的變化趨勢，應(yīng)該是一致的
我感覺自己好像抓住了什么，但又說不太清楚。
林凡，你再想想，如果只有一個交點，并且是相切的情況，那它們的二階導(dǎo)數(shù)在那個點，會不會有什么關(guān)系蘇沐雪適時地提醒了一句。
二階導(dǎo)數(shù)
我愣了一下，這個概念我好像……學(xué)過，但不太熟。
蘇沐雪看出了我的窘迫，耐心地解釋道：二階導(dǎo)數(shù)可以反映函數(shù)圖像的凹凸性。
如果兩個函數(shù)在某一點相切，并且在該點附近，它們的凹凸性也一致，那么它們就可能只有一個交點。
在蘇沐雪的引導(dǎo)下，我茅塞頓開！
經(jīng)過一番復(fù)雜的計算和推理（中間還被蘇沐雪糾正了好幾個低級錯誤），我終于……還是沒能完全解出來。
唉，蘇沐雪，我還是太笨了。我有些沮喪地撓了撓頭。
蘇沐雪卻笑著搖了搖頭：林凡，你已經(jīng)很棒了。
這道題，對你來說，確實有些超綱了，它涉及到了一些大學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容。
我只是想通過這道題，讓你明白，數(shù)學(xué)知識是融會貫通的，有時候，多了解一些，就能從更高的角度去看待問題。
這道題的答案是
a
=
1（6e），c
=
1（2e）。她拿起筆，在紙上寫下了詳細的解題過程。
看著她那行云流水般的板書，和清晰嚴謹?shù)倪壿嬐评�，我心中充滿了敬佩和……一絲絲的挫敗感。
學(xué)霸的世界，果然不是我這種學(xué)渣能輕易理解的。
第二題：平面向量與解析幾何
（難度升級）
好了，我們來做一道向量和解析幾何的綜合題。蘇沐雪翻開了筆記本的下一頁。
已知點
A（-2，
0），B（2，
0），動點
P（x，
y）
滿足
|PA|
-
|PB|
=
2a
（a
＞
0），且點
P
的軌跡為曲線
C。
（1）若曲線
C
過點
M（3，
√5），求曲線
C
的方程。
（2）若直線
l:
y
=
kx
+
m
與曲線
C
交于兩點
E，
F，且向量
OE
·
向量
OF
=
（O為坐標(biāo)原點），求證：m
=
a（1
-
k）。
我看著這道題，感覺……比上一道題還要難！
|PA|
-
|PB|
=
2a這……這是雙曲線的定義啊！
而且，焦點在
x
軸上，中心在原點。
蘇沐雪，這個曲線
C
是不是雙曲線我試探著問道。
沒錯！蘇沐雪贊許地點了點頭。
那你還記得雙曲線的標(biāo)準方程是什么嗎
呃……是
xa
-
yb
=
1，還是
ya
-
xb
=
1
來著我有些不確定地撓了撓頭。
蘇沐雪無奈地笑了笑：是
xa
-
yb
=
1，因為焦點在
x
軸上。
而且，題目中給的是
|PA|
-
|PB|
=
2a，所以
a
就是雙曲線的實半軸長。
那么，b
和
c
呢它們之間有什么關(guān)系
c
=
a
+
b！這個我記得！
很好！蘇沐雪繼續(xù)引導(dǎo)我。
第一問，曲線
C
過點
M（3，
√5），你把這個點的坐標(biāo)代入雙曲線方程，再結(jié)合
c
的值（因為焦點是
A
和
B，所以
c
=
2），就能求出
a
和
b
的值，從而得到曲線
C
的方程了。
在蘇沐雪的提示下，我開始在草稿紙上演算起來。
將點
M（3，
√5）
代入
xa
-
yb
=
1，得到
9a
-
5b
=
1。
又因為
c
=
2，所以
c
=
4
=
a
+
b。
兩個方程，兩個未知數(shù)，解這個方程組……對我來說，還是有點挑戰(zhàn)性的。
我算了半天，滿頭大汗，最后還是蘇沐雪幫我指出了一個計算錯誤，才勉強解了出來。
a
=
1，b
=
3。我有些不好意思地說道。
所以，曲線
C
的方程是
x
-
y3
=
1。
嗯，第一問做出來了。蘇沐雪點了點頭。
那么，第二問呢直線
l
與曲線
C
交于兩點
E，
F，且向量
OE
·
向量
OF
=
0，這個條件是什么意思
向量
OE
·
向量
OF
=
我想了想，如果兩個向量的點乘等于0，那說明……這兩個向量垂直！
也就是說，OE
⊥
OF。
蘇沐雪，是不是
OE
垂直于
OF我有些興奮地說道。
沒錯！蘇沐雪的眼中閃過一絲欣慰。
那么，接下來你會怎么做
將直線
l
的方程
y
=
kx
+
m
代入雙曲線
C
的方程
x
-
y3
=
1。
然后，消去
y，得到一個關(guān)于
x
的一元二次方程。
設(shè)點
E（x，
y），F(xiàn)（x，
y），則
x
和
x
是這個一元二次方程的兩個根。
根據(jù)韋達定理，我們可以得到
x
+
x
和
xx
的表達式。
又因為
OE
⊥
OF，所以
xx
+
yy
=
0。
而
y
=
kx
+
m，y
=
kx
+
m。
將這些關(guān)系式代入
xx
+
yy
=
0，一番化簡和計算，最終應(yīng)該就能證明出
m
=
a（1
-
k）
了。
思路是清晰的，但是，中間的計算過程，卻充滿了陷阱和挑戰(zhàn)。
我深吸一口氣，拿起筆，開始在草稿紙上奮筆疾書。
將
y
=
kx
+
m
代入
x
-
y3
=
1，得到：
x
-
（kx
+
m）3
=
1
3x
-
（kx
+
2kmx
+
m）
=
3
（3
-
k）x
-
2kmx
-
（m
+
3）
=
這是一個關(guān)于
x
的一元二次方程。
因為直線
l
與雙曲線
C
交于兩點
E，
F，所以這個方程有兩個不相等的實數(shù)根
x
和
x。
因此，判別式
Δ
=
（-2km）
-
4（3
-
k）（-m
-
3）
＞
0。
根據(jù)韋達定理，我們可以得到：
x
+
x
=
2km
（3
-
k）
xx
=
-（m
+
3）
（3
-
k）
又因為
y
=
kx
+
m，y
=
kx
+
m，所以：
yy
=
（kx
+
m）（kx
+
m）
=
kxx
+
km（x
+
x）
+
m
將
x
+
x
和
xx
的表達式代入上式，得到：
yy
=
k[-（m
+
3）
（3
-
k）]
+
km[2km
（3
-
k）]
+
m
yy
=
[-k（m
+
3）
+
2km
+
m（3
-
k）]
（3
-
k）
yy
=
[-km
-
3k
+
2km
+
3m
-
km]
（3
-
k）
yy
=
（3m
-
3k）
（3
-
k）
因為
OE
⊥
OF，所以
xx
+
yy
=
0。
將
xx
和
yy
的表達式代入，得到：
-（m
+
3）
（3
-
k）
+
（3m
-
3k）
（3
-
k）
=
-（m
+
3）
+
（3m
-
3k）
=
（因為
3
-
k
≠
0，否則直線與雙曲線只有一個交點或無交點）
-m
-
3
+
3m
-
3k
=
=
3k
+
3
m
=
（3k
+
3）
2
嗯怎么和我記憶中的答案不太一樣
我記得雙曲線的類似結(jié)論，應(yīng)該是
m
=
a（k
-
e）
或者
m
=
-b（1
-
1k）
之類的形式。
難道我哪里算錯了
我皺著眉頭，仔細地檢查著每一個步驟，卻找不出任何錯誤。
蘇沐雪，我……我算出來的結(jié)果，好像不太對啊。我有些不好意思地說道。
蘇沐雪接過我的草稿紙，仔細地看了一遍，然后噗嗤一聲笑了出來。
林凡，你這個小迷糊。她用筆輕輕地敲了敲我的腦袋。
你看清楚題目，我們第一問求出來的雙曲線方程是
x
-
y3
=
1。
也就是說，a
=
1，b
=
3。
而你剛才推導(dǎo)的結(jié)論
m
=
（3k
+
3）
2，如果把
a
=
1
代入
m
=
a（1
-
k），得到的是
m
=
1
-
k。
這兩個顯然是不相等的。
我恍然大悟！
原來，我把第一問的結(jié)論，和第二問的待證結(jié)論，搞混了！
第二問要證明的是一個通用的結(jié)論，適用于所有滿足條件的雙曲線和直線。
而我卻潛意識地，把第一問中求出來的
specific
a
=
1，代入到了思考過程中。
唉，我真是太笨了。我有些懊惱地拍了拍自己的腦袋。
沒關(guān)系，知錯能改，善莫大焉。蘇沐雪笑著安慰我。
我們重新梳理一下思路。
關(guān)鍵在于，如何利用
OE
⊥
OF
這個條件，將
xx
和
yy聯(lián)系起來，并最終化簡得到
m
與
a，
k
之間的關(guān)系。
在蘇沐雪的引導(dǎo)下，我重新整理了思路，將注意力集中在
xx
+
yy
=
這個核心關(guān)系式上。
xx
+
（kx
+
m）（kx
+
m）
=
xx
+
kxx
+
km（x
+
x）
+
m
=
（1
+
k）xx
+
km（x
+
x）
+
m
=
現(xiàn)在，我們只需要將韋達定理得到的
x
+
x
和
xx
代入這個式子。
x
+
x
=
2km
（a
-
ck）
（這里是雙曲線與直線聯(lián)立后的一般形式，a_s
和
b_s
是雙曲線的參數(shù)，為了避免和題目中的
a
混淆，我們用
c
=
a
+
b
這個關(guān)系，以及雙曲線標(biāo)準方程的另一種形式
xa
-
yb
=
1
或者
ya
-
xb
=
1，與直線
y=kx+m
聯(lián)立后，整理得到的
x
的一元二次方程系數(shù)來表示。假設(shè)整理后是
Ax
+
Bx
+
C
=
0，則
x+x
=
-BA，
xx
=
CA）
等等，這里我需要更正一下之前的推導(dǎo)，雙曲線
xa
-
yb
=
1
與直線
y
=
kx
+
m
聯(lián)立，得到：
bx
-
a（kx
+
m）
=
ab
bx
-
a（kx
+
2kmx
+
m）
=
ab
（b
-
ak）x
-
2akmx
-
a（m
+
b）
=
所以，根據(jù)韋達定理：
x
+
x
=
2akm
（b
-
ak）
xx
=
-a（m
+
b）
（b
-
ak）
將這兩個表達式代入
（1
+
k）xx
+
km（x
+
x）
+
m
=
0：
（1
+
k）[-a（m
+
b）
（b
-
ak）]
+
km[2akm
（b
-
ak）]
+
m
=
為了消去分母
（b
-
ak），我們假設(shè)
b
-
ak
≠
（即直線與雙曲線有兩個不同的交點）。
兩邊同乘以
（b
-
ak），得到：
（1
+
k）[-a（m
+
b）]
+
km[2akm]
+
m（b
-
ak）
=
-am
-
ab
-
akm
-
abk
+
2akm
+
mb
-
akm
=
化簡：
-am
-
ab
-
abk
+
mb
=
m（b
-
a）
=
ab（1
+
k）
m
=
ab（1
+
k）
（b
-
a）
這個結(jié)果……好像還是不對��！
我記得雙曲線的弦中點，或者與垂直相關(guān)的結(jié)論，通常都比較簡潔。
我一定是哪里搞錯了，或者漏掉了什么重要的條件。
蘇沐雪看著我抓耳撓腮的樣子，忍不住又笑了。
林凡，你不要鉆牛角尖。
有時候，換一種思路，可能會豁然開朗。
我們再回到
OE
·
OF
=
這個條件。
設(shè)點
E（x，
y），F(xiàn)（x，
y），那么這個條件等價于
xx
+
yy
=
0。
你有沒有想過，這個式子，和雙曲線的漸近線，有什么關(guān)系
雙曲線的漸近線
我愣了一下，這個……我還真沒想過。
蘇沐雪看我一臉茫然，繼續(xù)提示道：雙曲線
xa
-
yb
=
1
的漸近線方程是
y
=
±（ba）x。
如果
OE
⊥
OF，并且
O，
E，
F
都在雙曲線上或者與雙曲線相關(guān)的直線上，這會不會暗示著某種特殊的幾何關(guān)系
在蘇沐雪的循循善誘下，我感覺自己的思路，漸漸清晰起來。
如果
OE
⊥
OF，那意味著直線
OE
和
OF
的斜率之積等于
-1。
設(shè)直線
OE
的斜率為
k，直線
OF
的斜率為
k，則
kk
=
-1。
而
k
=
yx，k
=
yx。
所以，（yx）（yx）
=
-1，即
yy
=
-xx。
將這個關(guān)系代入
xx
+
yy
=
0，得到
xx
-
xx
=
0。
這……這不就直接證明了
OE
⊥
OF
嗎
不對不對，我是要用
OE
⊥
OF
來推導(dǎo)
m，
a，
k
之間的關(guān)系。
看來，我還是沒有真正理解蘇沐雪的提示。
林凡，你再想想。蘇沐雪耐心地說道。
如果直線
l:
y
=
kx
+
m
與雙曲線
C
交于
E，
F
兩點，并且
OE
⊥
OF。
那么，我們可以將直線方程和雙曲線方程聯(lián)立，得到一個關(guān)于
x
（或
y）
的一元二次方程。
這個方程的兩個根，就是
E，
F
兩點的橫坐標(biāo)
（或縱坐標(biāo)）。
而
OE
·
OF
=
xx
+
yy
=
我們需要做的，就是將這個約束條件，用韋達定理和直線方程，巧妙地聯(lián)系起來。
在蘇沐雪不厭其煩地啟發(fā)和引導(dǎo)下，我終于……還是卡殼了。
我感覺自己的腦細胞，已經(jīng)死傷殆盡了。
蘇沐雪，我……我投降了。我有些沮喪地說道。
這道題，對我來說，實在是太難了。
蘇沐雪看著我那副垂頭喪氣的樣子，輕輕地嘆了口氣。
林凡，其實你已經(jīng)很接近答案了。
只是，你還沒有找到最關(guān)鍵的那個突破口。
她拿起筆，在紙上寫下了一行字：
聯(lián)立直線與雙曲線方程，利用韋達定理，將
xx
和
yy
用
m，
k，
a，
b
表示出來。
然后，代入
xx
+
yy
=
0，化簡即可。
看著她那行云流水般的字跡，和清晰明了的思路。
我感覺自己，又一次被學(xué)霸碾壓了。
雖然，過程有些曲折，甚至可以說是……慘不忍睹。
但是，在蘇沐雪的幫助下，我總算是……勉強理解了這道題的解題思路。
雖然，讓我獨立完成，肯定還是做不出來。
好了，今天就到這里吧。蘇沐雪合上筆記本，臉上露出一絲疲憊的笑容。
林凡，你不要灰心。
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，本來就是一個循序漸進，不斷積累的過程。
只要你肯堅持下去，就一定能看到進步的。
我看著她那雙充滿鼓勵和信任的眼睛，心中充滿了感激和……一絲絲的愧疚。
我覺得自己，好像……辜負了她的期望。
蘇沐雪，對不起。我低著頭，小聲地說道。
我……我好像讓你失望了。
蘇沐雪聞言，微微一愣，隨即伸出手，輕輕地揉了揉我的頭發(fā)。
傻瓜。她的聲音，溫柔得像春風(fēng)拂過湖面。
你沒有讓我失望。
在我心中，你一直都是……最棒的。
那一刻，我感覺自己的心，像被電流擊中一般，酥酥麻麻的。
臉頰，也不受控制地，變得滾燙起來。
蘇沐雪……她……她剛才是在……夸我嗎
還是在……安慰我
我有些不敢確定，也不敢抬頭看她的眼睛。
只能任由那股莫名的情愫，在心中悄悄地蔓延，發(fā)酵。
第八章：排列組合的迷宮與概率的骰子
（進階挑戰(zhàn)）
在經(jīng)歷了函數(shù)、向量、解析幾何和導(dǎo)數(shù)的輪番轟炸之后，我對蘇沐雪的題庫已經(jīng)產(chǎn)生了一定的心理陰影。
總感覺她下一秒就會掏出一道能讓我懷疑人生的題目。
林凡，打起精神來！蘇沐雪看著我那副如臨大敵的樣子，忍不住笑道。
今天我們輕松一點，復(fù)習(xí)一下排列組合和概率。
輕松一點我表示嚴重懷疑。
排列組合在我看來，簡直就是數(shù)學(xué)界的迷宮，繞來繞去，總能把我繞暈。
而概率，則像一個永遠也猜不透的骰子，充滿了未知和……玄學(xué)。
我們先來看一道排列組合的題目。蘇沐雪的筆尖在紙上輕點。
現(xiàn)有6名同學(xué)（甲、乙、丙、丁、戊、己）和3名老師（A、B、C）站成一排合影。
（1）若老師A必須站在正中間，且甲、乙兩名同學(xué)必須相鄰，有多少種不同的站法
（2）若3名老師互不相鄰，且甲同學(xué)不能站在兩端，有多少種不同的站法
我看著這道題，感覺……還好，似乎比之前的那些題目要友善一些。
第一問，老師A站在正中間，這是個固定位置。
甲、乙兩名同學(xué)必須相鄰，可以把他們看作一個整體。
蘇沐雪，第一問是不是可以這樣想我試探著開口。
先把甲、乙捆綁在一起，看作一個人，那么就有
（6-2+1）
+
（3-1）
=
7
個‘元素’進行排列，考慮到老師A的位置固定，實際上是6個‘元素’在剩下的8個位置中的6個位置排列，不對……
我越說越亂，感覺自己的思路又打結(jié)了。
蘇沐雪耐心地聽著，并沒有打斷我。
等我說完，她才微笑著指出了我的錯誤：林凡，你一開始的思路是對的，把甲、乙看作一個整體。
但是，老師A的位置是固定的，所以我們只需要考慮剩下的人和‘甲乙整體’的排列。
一共有
9
個人，老師A占了一個位置，還剩下
8
個位置。
甲、乙捆綁后，看作一個元素，再加上剩下的
4
名同學(xué)和
2
名老師，一共是
1
+
4
+
2
=
7
個元素。
這
7
個元素在剩下的
8
個位置中的
7
個位置進行全排列，是
A（8，7）
嗎不對，應(yīng)該是先確定‘甲乙整體’和另外6個人（4同學(xué)+2老師）的位置。
不，更簡單的方法是，既然老師A的位置固定了，那么就剩下8個位置給剩下8個人排列，所以是
A（8，8）
=
8!
種。
然后，甲、乙兩人之間還有
A（2，2）
=
2!
種排列方式。
所以，第一問的總站法應(yīng)該是
8!
×
2!
嗎我越說越糊涂。
蘇沐雪輕輕地搖了搖頭：林凡，你還是把問題復(fù)雜化了。
老師A站在正中間，這個位置是確定的。
剩下
8
個人，甲乙相鄰，我們可以把甲乙看作一個整體
X。
那么，現(xiàn)在就有
X，
丙，
丁，
戊，
己，
老師B，
老師C，這
7
個元素進行全排列，有
A（7，7）
=
7!
種方法。
然后，甲乙兩人之間還有
A（2，2）
=
2!
種排列方式。
所以，總的站法應(yīng)該是
7!
×
2!
種。
我恍然大悟！原來這么簡單！
我總是習(xí)慣性地把簡單問題復(fù)雜化。
那第二問呢我有些期待地看著蘇沐雪。
3名老師互不相鄰，且甲同學(xué)不能站在兩端。
這個可以用插空法。蘇沐雪提示道。
先把6名同學(xué)進行排列，有
A（6，6）
=
6!
種方法。
然后，這6名同學(xué)之間以及兩端，一共有
7
個空位。
我們先考慮甲同學(xué)不能站在兩端的情況。
如果甲同學(xué)站在兩端，那么就有
2
種選擇，剩下
5
名同學(xué)全排列是
5!，然后老師插空……
我感覺自己的思路又開始混亂了。
蘇沐雪看出了我的窘迫，笑著說道：對于這種既有‘不相鄰’又有‘不在特定位置’的題目，我們可以分類討論，或者用間接法。
我們先考慮3名老師互不相鄰的情況。
先把6名同學(xué)全排列，有
6!
種方法。
這6名同學(xué)形成了
7
個空位（包括兩端）。
我們從這
7
個空位中，選出
3
個位置給老師，有
C（7，3）
種方法。
然后，3名老師進行全排列，有
A（3，3）
=
3!
種方法。
所以，僅僅滿足3名老師互不相鄰的站法有
6!
×
C（7，3）
×
3!
種。
現(xiàn)在，我們再考慮甲同學(xué)不能站在兩端的情況。
我們可以從所有滿足‘3名老師互不相鄰’的站法中，減去‘甲同學(xué)站在兩端且3名老師互不相鄰’的站法。
如果甲同學(xué)站在左端，那么老師不能和甲相鄰（如果題目要求），或者老師可以和甲相鄰但老師之間不相鄰。
蘇沐雪的思路非常清晰，她一步一步地引導(dǎo)我進行分析和計算。
雖然過程有些復(fù)雜，但我感覺自己對排列組合的理解，又加深了一層。
好了，排列組合就先到這里。蘇沐雪合上筆記本。
我們再來看一道概率題，輕松一下。
我心中哀嚎，概率題哪里輕松了！
假設(shè)一個袋子里有大小相同的紅球3個，白球2個，黃球1個。蘇沐雪說道。
（1）從袋中隨機取出3個球，求取出的3個球中至少有1個紅球的概率。
（2）從袋中隨機取出1個球，記下顏色后放回，連續(xù)取3次，求3次取出的球中恰好有2次是紅球的概率。
我看著這道題，感覺……還好，似乎比排列組合要直觀一些。
第一問，至少有1個紅球，它的對立事件是沒有紅球，也就是取出的3個球都是白球或黃球。
袋子里一共有
3
+
2
+
1
=
6
個球。
沒有紅球的情況，就是從
2個白球和
1個黃球（共3個球）中取出3個球，只有一種情況，就是把這3個球都取出來，即
C（3，3）
=
1。
而從6個球中隨機取出3個球的總
（情況數(shù)）
是
C（6，3）
=
（6×5×4）（3×2×1）
=
20。
所以，沒有紅球的概率是
120。
那么，至少有1個紅球的概率就是
1
-
120
=
1920。
蘇沐雪，第一問的答案是
1920
嗎我有些不確定地問道。
完全正確！蘇沐雪贊許地點了點頭。
看來，你對對立事件的運用，掌握得還不錯。
得到她的肯定，我心中一陣竊喜。
那第二問呢蘇沐雪繼續(xù)問道。
從袋中隨機取出1個球，記下顏色后放回，連續(xù)取3次，求3次取出的球中恰好有2次是紅球的概率。
這是有放回的抽取，而且是重復(fù)進行3次，恰好有2次是紅球……
我想到了二項分布！
每次取出紅球的概率是
P（紅）
=
36
=
12。
每次取出非紅球的概率是
P（非紅）
=
1
-
12
=
12。
進行3次試驗，恰好有2次是紅球，可以用二項分布的公式：
P（X=2）
=
C（3，2）
×
（12）
×
（12）
=
3
×
（14）
×
（12）
=
38。
蘇沐雪，第二問的答案是
38
嗎我有些激動地說道。
完全正確！蘇沐雪的眼中閃爍著驚喜的光芒。
林凡，你真的進步太大了！連二項分布都掌握得這么好！
我被她夸得有些不好意思，臉頰微微發(fā)燙。
都是……都是你教得好。我小聲地說道。
蘇沐雪看著我那副害羞的樣子，噗嗤一聲笑了出來。
那笑容，像春風(fēng)拂過湖面，蕩起陣陣漣漪，也像陽光照進心房，溫暖而明媚。
我看著她那比陽光還要燦爛的笑容，感覺自己的心，又一次……淪陷了。